发布日期：2025-11-23 09:00 点击次数：137
昨天的文章，公式错乱，十分抱歉。排版问题一直是个老大难，真是术业有专攻啊。也曾经有读者建议改成图片发布，但考虑到高中学业繁忙，节省孩子的时间（可以复制出来，也便于打印，图片有时打印会很模糊，也会较慢），还是坚持用手去敲，用一些公式软件去写，去拷，但不清楚软件之间的兼容性问题，以至于排版出来，就是大家见到的结果。今天在本文后面会对其进行修正。
导数的一个题型—极值点偏移，就洋洋洒洒的写了还几篇文章去讲解，这里主要是传达给孩子一个提高高中数学成绩的最为有效且核心的准则：深挖课本知识点，将书读厚!这也是本公众号的一个初心。
本篇文章会借助极值点偏移问题，带领大家一起“将书读薄”。接下来让我们开启这段旅程。
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极值点全面要点总结
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学完一个知识点，大家要对其进行归纳总结。将这个知识点所涉及到的题型、以及这些题型所使用的【转化与化归】的解题思路做一个汇总。这样整个知识点从全局上基本上把握住了。
回想一下，前面几章讲过的都有哪些内容呢？结合自己平时做过的练习题，特别是历年高考数学真题考函数极值点偏移的相关题目，先来总结一下最为常见的题型，其本质是一样的。
1. 零点偏移型【函数与方程思想】
o 形式：已知 f(x1)=f(x2)=0，证明 x1+x2>2x0 或 x1+x2<2x0。
o 示例：f(x)=lnx−x 的零点 x1,x2 满足 x1+x2>2。
2. 等值点偏移型【函数与方程思想】
o 形式：已知 f(x1)=f(x2)=m（m为常数），证明 x1+x2>2x0 或 x1+x2<2x0。
o 示例：f(x)=ex−x2 与水平线 y=m的交点 x1,x2满足 x1+x2>1。
3. 导数偏移型【函数与方程思想】
o 形式：已知 f(x1)=f(x2)，证明 f′(x1+x2)>0 或 f′(x1+x2)<0。
o 应用：用于判断极值点偏移方向。
以上，转换了一下格式，希望不会乱。
进一步细化一下，用表格表达：
方法适用场景关键步骤对称构造函数法零点或等值点偏移证明构造 h(x)=f(x)−f(2x0−x)对数平均不等式含对数函数的偏移问题利用 x1−x2比较参变分离法含参函数的偏移问题分离参数后构造函数泰勒展开法复杂函数偏移分析展开 f(x)至二阶项将这些内容进一步浓缩，氪金脑袋里。
极值点偏移问题本质是函数在极值点两侧的非对称性，其一般形式包括零点偏移、等值点偏移和导数偏移三类。
解决时通常结合函数性质选择构造法、不等式或泰勒展开等工具。
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练习升华
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学而不思则罔，思而不学则怠。这句话耳熟能详，但是真正能左右应用的又有几人呢？这样的名言之所以能够流传千古，必然有其过人之处，结合自己目前的学习困境，仔细品味一下这句话。
下面带领大家做一道题，感受一下，最近讲到的这些内容在高考真题中的具体运用。
看下面一道例题：
f(x)=lnx-(ax+1/x),若f(x)有两个零点x1,x2，求证：x1x2 >2e2
先来观察一下，f(x)的结构看着很简单，虽然有一个参数a，并且题目中出现了“零点”，而待求问题是一个不等式证明，且是零点积的形式。再观察一下f(x)貌似符合极值点偏移的特征。
若按照极值点偏移思路去求解，就需要求出极值点。但这里有个参数a，直接确定不了极值点。若直接尝试零点与a建立联系，因为f(x)整体上是一个超越函数，也很难将零点表示成a的形式。且问题中不含a，说明要证明的问题与a无关。
怎么办呢？再观察一下，对于f(x),参数a是很容易分离出来的。f(x)=0的两个零点，很容易变形表示为a=lnx/x-1/x^2【参变分离】。令h(x)=lnx/x-1/x^2,则说明h(x)与a有两个交点【函数与方程思想】，到这里大家能看懂吧。将参数a转化成了一个函数，将零点问题转化为交点问题。
接下来看看能不能求出极值点。h’（x）=（x-xlnx+2）/x^3，还是一个超越方程，还是不能求出极值点。又遇到问题了。
兵来将挡水来土掩么，继续寻找突破之法！既然极值点不能求了，再观察一下对于零点问题，最为常用的方法就是【设而不求】。
令x1<x2，有这个等式成立:
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则根据对数单身狗原则，相似项整理到等式两侧：
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对于指对函数的处理，通常有两种方法，同异构和放缩。在上面最后一步我们就用了放缩代换。这样一代换有个什么好处呢，分式项分母没了，这是我们希望看到的。再回看上面，在求极值点时，是一个耦合的超越函数，很难求出极值点。
经过这一下列操作转换，就可以得到一个简单的一致函数。
m(x)=ln(x)/x+x^2/4e^4,接下来就是证明m（x）的单调性即可。这里都能看明白吧。
令n(x)为：
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分析n（x）的单调性（需要求二阶导）图片
则反推回去，n’（x）是单调递增的，接下来要找n’（x）=0的点，这个点对应着n(x)的极值点。怎样找这个点呢？当然是利用【零点存在定理】。要了这么一大圈，终于有眉目了。
找到x上的两个值，一个值n’（x1）>0,另一个值n'(x2)<0,这在x1和x2之间必然存在x0,使得n’（x0）=0。想到了什么？零点代换！得到n（x）的最值。同时也得到了n(x)在极值点两侧的单调性。再反推回去即证。这里看明白了吗。
仔细想想，就是绕来绕去，只要顺着接头，慢慢缕一下还是比较清晰的。
总结一下：这道题考察的知识点没有大家从来没有见过的陌生的东西吧（重点看红色字体）。想通过这道题表达一下高考人的命题思路：
题目看着很熟悉，但处处都是坑，如何填坑，遇河搭桥，正式我们要学习的。
不同的知识点，重新组合一下，题目的难度可以直线上升。
遇到坐不下去的时候，要么调整解题思路，要么进行化归，多想一想，遇到某种代数结构或具体概念常用的解题方法是什么【如本题的放缩与隐零点代换问题】
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纠错
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